[Python] 결정계수 R2 score(R-squared)와 조정된 결정계수(Adjusted R-squared)의 이해

AlienCoder 2022. 2. 15. 17:05

결정계수 - R2 score(R-squared)

결정계수는 상관계수를 제곱한 값으로 보면 된다. 하지만 결정계수는 상관계수와 달리 변수간 영향을 주는 정도 또는 인과 관계의 정도를 정량화해서 나타낸 수치라는 것이다. 따라서, 결정계수는 상관 분석이 아닌 회귀 분석에서 사용하는 수치라고 할 수 있다.

결정 계수를 나타내는 R2 score(R-squared)는 회귀 모델의 성능에 대한 평가 지표이다.

결정계수(R-squared)란 일반적으로 $ R^2 $으로 표기된다. 회귀모델에서 독립 변수가 종속 변수를 얼마나 잘 설명해주는지 보여주는 지표이다. 결정계수가 높을수록 독립 변수가 종속 변수를 잘 설명한다는 뜻인데, 이때 독립 변수의 개수가 증가하면 함께 증가한다. 그러므로 결정계수에만 의존하여 회귀 모델을 평가하기에는 무리가 있다. 따라서 조정된 결정계수(Adjusted R-squared)가 제시되었다.

우선 결정계수의 의미를 살펴보자. 적합도 평가를 위한 결정계수의 R2 score는 0~1 사이의 범위를 가지고 1에 가까울수록 해당 선형 회귀 모델이 해당 데이터에 대한 높은 연관성을 가지고 있다 해석할 수 있다. R2 score의 수식은 아래와 같다.

$$ R^2 score = \frac{SSR(회귀제곱합)}{SST(총제곱합)} = 1- \frac{SSE(잔차제곱합)}{SST(총제곱합)} $$

SST는 총 제곱합, SSR은 회귀식 추정값과 관측값의 평균 간 차이인 회귀 제곱합을 나타낸다. SSE은 잔차 제곱합이다. 용어가 혼동되면 여기를 참조하면 된다.

$$ SST\ =\ \sum _{i=1}^n{\left({y}_i-\overline {y}\right)}^2 $$

$$ SSR\ =\ \sum _{i=1}^n{\left(\hat{{y}_i}-\overline {y}\right)}^2 $$

$$ SSE\ =\ \sum _{i=1}^n{\left({y}_i-\hat{{y}_i}\right)}^2 $$

$ y_i $는 관측값, $ \bar{y_i} $은 관측값의 평균, $ \hat{y_i} $은 회귀 추정 값이다.

python으로는 아래와 같이 구할 수 있다.

from sklearn.metrics import r2_score
r2 = r2_score(y, lr.predict(x_2))

y는 실제 original 데이터이고, lr.predict는 fitting된 선형 회귀 모델을 통해 도출된 예측 값이다. 물론 lr은 따로 fitting 하여 사용하여야 한다. 해당 코드에서는 제외되었다.

위의 결과에서 r2의 값이 0.4라면 40%의 설명력을 가진다고 해석하면 된다. 분야와 연구자에 따라 결정계수의 수치가 어디부터 실질적으로 적용 가능한지는 다르지만 일반적으로 20%는 넘어야 한다. 만약 r2값이 음수가 나온다면 데이터가 arbitrarily한 경우이거나, 독립 변수의 일괄 평균으로 예측하는 것보다 성능이 떨어진다는 것을 의미한다.

내용들은 정리해보자면

결정계수='회귀 모델의 성능 지표'

r2 ≈ 1, 좋은 회귀 모델
r2 ≈ 0, 나쁜 모델
r2 < 0(음수), 쓰레기 모델 or 임의의 데이터를 이용한 경우

라고 볼 수 있다.

조정된 결정계수(Adjusted R-squared)

하지만 결정계수는 독립 변수 개수가 증가하면 함께 증가하므로 독립 변수 개수가 2개 이상일 경우 조정된 결정계수(Adjusted R-squared)를 사용해야 한다. 조정된 결정계수의 수식은 아래와 같다

$$ Adjusted\ R^2\ =\ 1-\frac{SSE\div \left(n-k-1\right)}{SST\div \left(n-1\right)} $$

위 수식에서 n은 표본의 수, k는 독립 변수의 개수이다.

상관계수는 독립 변수-독립 변수 또는 독립 변수-종속 변수들 간의 상관도를 나타내고 결정계수는 (회귀 모델+독립 변수)-종속변수의 상관도를 설명하는 것으로 이해하면 구별하기 쉽다.